勾股定理证明

在这个直角三角形中,我们设以 cc 为底的大三角形面积为 ScS_c,以 a,ba,b 为底的两个小三角形的面积分别为 Sa,SbS_a,S_b

显然,Sc=ch2=c2h2cS_c=\frac{ch}{2}=c^2\cdot\frac{h}{2c}。令 m=h2cm=\frac{h}{2c},则有 Sc=mc2S_c=mc^2

同理,Sa=a2ha2aS_a=a^2\cdot\frac{h_a}{2a}(其中 hah_a 表示三角形 BPCBPC 中以 aa 为底的高)。显然该三角形与大三角形 ABCABC 相似,所以 hah=ac\frac{ha}{h}=\frac{a}{c},即 ha2a=h2c=m\frac{h_a}{2a}=\frac{h}{2c}=m,所以 Sa=ma2S_a=ma^2。同理 Sb=mb2S_b=mb^2

又因为,Sc=Sa+SbS_c=S_a+S_b,所以 mc2=ma2+mb2mc^2=ma^2+mb^2,即 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2